Между тем популярность Енгибарова у зрителей была огромной, он по праву считался одним из лучших цирковых артистов Советского Союза. В начале 1972 года с ним произошел случай, как нельзя лучше характеризующий отношение к нему простой публики. Леонид приехал в Ереван и пошел в родной для него цирк. В тот момент там уже шло представление, и, чтобы не мешать, Енгибаров тихонечко прошел в директорскую ложу и сел в углу. Однако кто-то из актеров узнал о его присутствии, и вскоре уже весь коллектив был оповещен об этом. Поэтому каждый из выходящих на арену артистов считал своим долгом сделать приветствующий жест в сторону директорской ложи. Это не укрылось и от зрителей, они стали шептаться между собой и все чаще оглядываться в сторону ложи. В конце концов инспектору манежа не оставалось ничего иного, как прервать представление и объявить на весь манеж: “Дорогие друзья! Сегодня на нашем представлении присутствует клоун Леонид Енгибаров!” Не успело стихнуть эхо этих слов под сводами цирка, как весь зал в едином порыве поднялся со своих мест и разразился оглушительными аплодисментами
Артист был крайне смущен таким вниманием к своей персоне, но ничего поделать с этим уже не мог. Пришлось ему встать и выйти из темного угла на свет. Зрители продолжали горячо аплодировать, он пытался движением рук их унять, но у него, естественно, ничего не получилось. И тогда он, в благодарность за такую любовь, на ходу придумал пантомиму: раскрыв двумя руками свою грудную клетку, достал оттуда сердце, разрезал его на тысячи маленьких кусочков и бросил зрителям. Это было великолепное зрелище, достойное таланта прекрасного артиста.
В июле того же года Енгибаров приехал в Москву. Тот месяц был отмечен небывалой жарой и засухой. В Подмосковье горели торфяные болота, и в отдельные дни воздух был таким, что в нескольких метрах от себя невозможно было увидеть человека. И в один из таких дней - 25 июля - Енгибарову стало плохо, и он попросил свою маму - Антонину Андреевну - вызвать врача. Вскоре тот приехал, диагностировал отравление, выписал какое-то лекарство и покинул дом. Вскоре после его ухода артисту стало еще хуже. Матери вновь пришлось вызывать “Скорую”. Пока врачи ехали, Леонид мучился от боли и во время одного из приступов внезапно попросил у матери: “Дай холодного шампанского, мне станет легче!” Видимо, он не знал, что шампанское сужает сосуды. Не знала об этом и его мама. Леонид выпил полбокала и вскоре умер от разрыва сердца. Ему было всего 37 лет.
Когда Л. Енгибарова хоронили, в Москве начался проливной дождь. Казалось, само небо оплакивает потерю этого прекрасного артиста. По словам Ю. Никулина, все входили в зал Центрального дома работников искусств, где проходила гражданская панихида, с мокрыми лицами. А пришли тысячи...
